Transformações de Funções Trigonométricas

Vamos falar de transformações nas funções trigonométricas, que é basicamente dar uma repaginada na cara do seno, cosseno e tangente. Imagine que você tem um elástico, e esse elástico é a sua função trigonométrica. Você pode esticar, comprimir, deslocar para cima ou para baixo e até mesmo dar uma viradinha nele. Isso tudo são transformações!

Como isso funciona na matemática? Bem, se pegarmos a função sin(x), por exemplo, e quisermos esticar, multiplicamos por um número maior que 1, ficando asin(x) onde a > 1. Se quisermos comprimir, 0 < a < 1[/latex]. Agora, se a ideia é deslocar, adicionamos ou subtraímos valores dentro ou fora do seno. Para virar do avesso, multiplicamos por -1. Parece mágica, mas é só trigonometria!   O que não pode faltar na cabeça na hora do vestibular? Lembre-se das fórmulas de transformações: [latex]asin(bx + c) + d e acos(bx + c) + d, onde a altera a amplitude, b a frequência, c a fase e d o deslocamento vertical. E cuidado com os sinais, eles fazem toda a diferença na hora de transformar essas funções!

Exemplo Resolvido

Considere a função f(x) = 2sin(pi x - frac{pi}{2}) + 3. Descreva as transformações da função seno básica sin(x).

  1. Estica por um fator de 2, deslocamento à direita de frac{1}{2} e para cima de 3.
  2. Comprime por um fator de frac{1}{2}, deslocamento à direita de frac{pi}{2} e para cima de 2.
  3. Estica por um fator de 2, deslocamento à esquerda de frac{1}{2} e para cima de 3.
  4. Comprime por um fator de 2, deslocamento à esquerda de frac{pi}{2} e para baixo de 3.
  5. Estica por um fator de frac{1}{2}, deslocamento à direita de frac{pi}{2} e para cima de 3.

Resolução: A função dada é uma transformação da função seno. O fator 2 na frente do seno indica que a função é esticada verticalmente por um fator de 2. O pi multiplicando x indica que a função tem uma frequência maior, e o termo -frac{pi}{2} indica um deslocamento à direita de frac{1}{2}. Por fim, o +3 no final indica um deslocamento vertical para cima de 3. Resposta: A.

Exercícios Propostos

1. Qual das seguintes equações representa uma função cosseno que foi esticada verticalmente por um fator de 3, refletida no eixo x e deslocada para baixo em 4 unidades?

  1. 3cos(x) - 4
  2. -3cos(x) + 4
  3. 3cos(-x) - 4
  4. -3cos(x) - 4
  5. -frac{1}{3}cos(x) - 4

Gabarito: D

2. Se g(x) = -frac{1}{2}sin(2x + frac{pi}{3}) - 1, quais transformações são aplicadas à função seno básica?

  1. Reflexão no eixo x, estiramento vertical por frac{1}{2}, deslocamento à esquerda de frac{pi}{6} e para baixo de 1.
  2. Reflexão no eixo x, compressão vertical por frac{1}{2}, deslocamento à direita de frac{pi}{6} e para baixo de 1.
  3. Reflexão no eixo y, estiramento vertical por 2, deslocamento à esquerda de frac{pi}{3} e para cima de 1.
  4. Reflexão no eixo x, compressão vertical por 2, deslocamento à direita de frac{pi}{3} e para baixo de 1.
  5. Reflexão no eixo y, compressão vertical por frac{1}{2}, deslocamento à direita de frac{pi}{3} e para cima de 1.

Gabarito: B

As transformações trigonométricas são como uma caixa de ferramentas para ajustar funções e fazer elas se encaixarem perfeitamente em diversos contextos. Agarre essas ferramentas e use-as para desvendar os mistérios das funções trigonométricas nos vestibulares!

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