Teorema de Taylor

O Teorema de Taylor é tipo um GPS matemático: ele dá um jeito de representar uma função complicada por algo mais simples, um polinômio. A ideia é que, perto de um ponto específico, esse polinômio vai se parecer muito com a função original.

Como que faz isso? Bem, a gente calcula as derivadas da função no ponto escolhido e depois usa essas informações pra montar o polinômio. Cada derivada vira um coeficiente que é dividido pelo fatorial da ordem da derivada e multiplicado pela diferença entre x e o ponto. O pulo do gato é que quanto mais termos você pegar, melhor a aproximação.

No vestibular, você precisa mandar bem não só na fórmula, mas entender o processo: como formar o polinômio, por que escolher tal ponto e como usar o erro de Lagrange pra estimar o quão boa é a aproximação. E ó, as séries de Taylor são tipo um canivete suíço na matemática: servem pra um monte de coisas, principalmente quando calcular algo direto é um pesadelo.

Exemplo Resolvido

Construa o polinômio de Taylor de terceira ordem para a função $f(x) = sin(x)$ centrado em $a=0$ .

$x$
$x - frac{x^3}{6}$
$x - frac{x^3}{3!} + frac{x^5}{5!}$
$frac{x^2}{2}$
$x + frac{x^3}{3}$

Resolução: As derivadas de $f(x) = sin(x)$ são: $f'(x) = cos(x)$ , $f''(x) = -sin(x)$ , $f'''(x) = -cos(x)$ . Em $x=0$ , temos $f(0) = 0$ , $f'(0) = 1$ , $f''(0) = 0$ , e $f'''(0) = -1$ . Então, o polinômio de Taylor de terceira ordem é $P_3(x) = f(0) + f'(0)x + frac{f''(0)x^2}{2!} + frac{f'''(0)x^3}{3!} = 0 + x + 0 - frac{x^3}{6} = x - frac{x^3}{6}$ . Resposta: B.