Teorema de Taylor e Séries

O Teorema de Taylor é um negócio muito massa que nos ajuda a aproximar funções complicadonas por polinômios, que são mais simples de manusear. Você pega uma função, escolhe um ponto, e o teorema te dá um polinômio que fica bem parecido com a função perto daquele ponto.

Como funciona? Bem, você vai calculando as derivadas da função no ponto escolhido e montando um polinômio com elas. Cada termo do polinômio tem a derivada da função dividida pelo fatorial do grau do termo, e elevado à diferença entre x e o ponto escolhido. A mágica tá em que, quanto mais termos você usar, mais o polinômio se parece com a função original!

Pro vestibular, você tem que sacar que não basta só saber a fórmula. Tem que entender como formar a série de Taylor, como escolher o ponto pra expandir e como estimar o erro com o resto de Lagrange. Lembra que as séries de Taylor são ferramentas poderosas pra lidar com funções quando não dá pra calcular de forma direta.

Exemplo Resolvido

Encontre o polinômio de Taylor de segunda ordem para a função $f(x) = e^x$ no ponto $a=0$ .

$1 + x$
$1 + x + frac{x^2}{2}$
$1 + x + frac{x^2}{2} + frac{x^3}{3!}$
$1 + x + frac{x^3}{3}$
$1 + frac{x^2}{2}$

Resolução: As derivadas de $e^x$ em $x=0$ são todas $e^0=1$ . O polinômio de Taylor de segunda ordem é $P_2(x) = f(0) + f'(0)x + frac{f''(0)x^2}{2!} = 1 + x + frac{x^2}{2}$ . Resposta: B.

Exercícios Propostos

1. Use o Teorema de Taylor para encontrar a aproximação de primeira ordem de $f(x) = ln(1+x)$ em torno de $a=0$ .

$ln(1+x)$
$x$
$1+x$
$frac{x}{1+x}$
$frac{1}{1+x}$

Gabarito: B

2. Determine o polinômio de Taylor de terceira ordem para $f(x) = cos(x)$ no ponto $a=frac{pi}{4}$ .

$frac{sqrt{2}}{2} - frac{sqrt{2}}{2}(x - frac{pi}{4})$
$frac{sqrt{2}}{2} - frac{sqrt{2}}{2}(x - frac{pi}{4}) + frac{sqrt{2}}{4}(x - frac{pi}{4})^2$
$frac{sqrt{2}}{2} - frac{sqrt{2}}{2}(x - frac{pi}{4}) - frac{sqrt{2}}{4}(x - frac{pi}{4})^2$
$frac{sqrt{2}}{2}$
$frac{sqrt{2}}{2} - frac{sqrt{2}}{2}(x - frac{pi}{4}) - frac{sqrt{2}}{4}(x - frac{pi}{4})^2 + frac{sqrt{2}}{8}(x - frac{pi}{4})^3$

Gabarito: E

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