Teorema de D’Alembert

O Teorema de D’Alembert, também conhecido como o critério de Raízes Racionais, é uma técnica poderosa para encontrar raízes racionais de polinômios. Ele indica que se um polinômio $P(x)$ com coeficientes inteiros tem uma raiz racional $frac{p}{q}$ , então $p$ é um divisor do termo constante e $q$ é um divisor do coeficiente líder.

Esse teorema facilita a busca por raízes racionais, permitindo-nos testar apenas um número limitado de possibilidades em vez de um número infinito de frações. O processo geralmente envolve a divisão sintética ou o uso do esquema de Horner para testar rapidamente os possíveis candidatos a raízes.

Em exames de vestibular, o conhecimento do Teorema de D’Alembert pode ser crucial para simplificar polinômios e resolver equações polinomiais de grau superior. Problemas típicos podem incluir encontrar todas as raízes racionais de um polinômio ou determinar se um polinômio tem alguma raiz racional.

Exercício Resolvido

Encontre as possíveis raízes racionais do polinômio $P(x) = 2x^3 - 3x^2 - 8x + 12$ usando o Teorema de D’Alembert.

$pm1, pm2, pm3, pm4, pm6, pm12$
$pm1, pm2, pm4, pm6$
$pm1, pm2, pm3, pm4$
$pm1, pm2, pm6, pm12$
$pm1, pm3, pm4, pm6$

Resposta: A

Resolução: Pelo Teorema de D’Alembert, as raízes racionais $frac{p}{q}$ devem satisfazer que $p$ é divisor de 12 e $q$ é divisor de 2. As possíveis raízes racionais são os divisores de 12: $pm1, pm2, pm3, pm4, pm6, pm12$ .