Sistemas Homogêneos

Um sistema de equações lineares é dito homogêneo se todos os termos constantes são iguais a zero. Em outras palavras, todas as equações do sistema têm a forma:

$a_1x_1 + a_2x_2 + cdots + a_nx_n = 0$

Um sistema homogêneo tem sempre pelo menos uma solução, chamada de solução trivial, na qual todas as variáveis são iguais a zero. Sistemas homogêneos podem ter uma solução única (a trivial) ou infinitas soluções, dependendo se a matriz dos coeficientes é ou não singular (determinante zero).

Exemplo

Considere o seguinte sistema homogêneo:

$begin{cases} x + 2y - z = 0 \ 2x - y + 3z = 0 \ -x + 4y - z = 0 end{cases}$

Para resolver o sistema, montamos a matriz dos coeficientes e aplicamos operações de linha para chegar a uma forma escalonada.

$begin{bmatrix} 1 & 2 & -1 \ 2 & -1 & 3 \ -1 & 4 & -1 end{bmatrix}$

Procedendo com a eliminação de Gauss, buscamos zeros abaixo do primeiro pivô:

$begin{array}{l} L2 leftarrow L2 - 2 cdot L1 \ L3 leftarrow L3 + L1 end{array}$

Ao final das operações, obtemos a forma escalonada reduzida da matriz de coeficientes. Se houver pelo menos uma linha não-nula no final, o sistema é consistente e tem infinitas soluções. Se todas as linhas forem nulas, a única solução é a trivial.

Exercícios Propostos

1. Determine se o seguinte sistema homogêneo tem apenas a solução trivial ou infinitas soluções:

$begin{cases} x - y + z = 0 \ 2x + y - 3z = 0 \ -3x + 2y - 2z = 0 end{cases}$

2. Resolva o sistema homogêneo:

$begin{cases} x + 2y - 3z = 0 \ 4x - y + 5z = 0 \ 3x + 3y - z = 0 end{cases}$

Sistemas Homogêneos