Séries de Taylor

As Séries de Taylor são uma ferramenta esperta que matemáticos usam pra transformar funções complicadas em somas infinitas mais simples, que são os polinômios de Taylor. É tipo tentar desenhar um círculo com retas, só que no fim fica bem parecido mesmo!

Funciona assim: você pega uma função e calcula suas derivadas num ponto ‘a’. Aí, monta uma série adicionando cada derivada vezes a potência de (x-a), dividido pelo fatorial do grau da derivada. A mágica tá em que, enquanto mais termos você adiciona, mais a série fica parecida com a função original.

Pra mandar bem no vestibular, tem que pegar o jeito de como essas séries funcionam e como convertem coisas cabeludas em polinômios maneirinhos. Memoriza a fórmula, entende o papel do ponto ‘a’, e treina identificar quando uma série converge, porque isso garante que a aproximação é válida!

Exemplo Resolvido

Encontre a série de Taylor de $e^x$ em torno de $a = 0$ .

$1 + x$
$1 + x + frac{x^2}{2!}$
$1 + x + frac{x^2}{2} + frac{x^3}{3!}$
$1 + frac{x}{1!} + frac{x^2}{2!} + frac{x^3}{3!} + … + frac{x^n}{n!}$
$1 + 2x + frac{3x^2}{2}$

Resolução: Como todas as derivadas de $e^x$ são $e^x$ e em $x=0$ todas elas valem 1, a série de Taylor é a soma de $frac{x^n}{n!}$ para todo n a partir de 0. Portanto, a série de Taylor de $e^x$ é $1 + frac{x}{1!} + frac{x^2}{2!} + frac{x^3}{3!} + … + frac{x^n}{n!}$ para n indo até o infinito. Resposta: D.