Séries de Potências

Quer entrar na onda das séries de potências? Pensa numa sequência que é praticamente um polinômio infinito. A série de potências tem essa vibe: é uma soma de termos tipo $a_n(x - c)^n$ , onde $c$ é o centro e $a_n$ são os coeficientes. A sacada é que ela pode representar várias funções bacanas em intervalos específicos.

Como isso rola? A gente calcula o raio de convergência pra ver até onde essa festa vai. Se $x$ estiver dentro desse raio, então, bora somar! Mas se $x$ ultrapassar essa fronteira, a série pode não convergir. Então, é importante conhecer os limites da série para não levar um “fora matemático”.

Para mandar bem no vestibular, é bom ter na ponta da língua como encontrar esse tal raio de convergência usando o teste da razão ou o teste da raiz, além de saber que algumas séries têm poderes especiais e representam funções conhecidas, tipo $e^x$ , $sen(x)$ ou $cos(x)$ .

Exemplo Resolvido

Encontre o raio de convergência da série de potências $sum_{n=0}^{infty} frac{x^n}{n!}$ .

0
1
$e$
Infinito
Não é possível determinar

Resolução: Aplicando o teste da razão, temos $L = lim_{n to infty} frac{1/(n+1)!}{1/n!}$ , o que simplifica para $L = lim_{n to infty} frac{n!}{(n+1)!} = lim_{n to infty} frac{1}{n+1} = 0$ . Como $L$ é zero, o raio de convergência é infinito. Resposta: D.