Raízes e Coeficientes de Polinômios
As raízes de um polinômio são os valores para os quais o polinômio se anula, ou seja, quando . Os coeficientes são os números que multiplicam as variáveis, como em , onde , , e são coeficientes.
O Teorema das Raízes Racionais nos ajuda a encontrar as possíveis raízes racionais de um polinômio. Já as Relações de Girard estabelecem uma conexão entre as raízes e os coeficientes de polinômios: por exemplo, para um polinômio do segundo grau , a soma das raízes é e o produto é .
No vestibular, entender como aplicar esses conceitos é crucial. Além de saber calcular as raízes, é importante ser capaz de relacionar as raízes com os coeficientes de um polinômio e aplicar essas relações para simplificar problemas ou resolver equações mais complexas.
Exercício Resolvido
Dado o polinômio , encontre as raízes e verifique a relação com os coeficientes.
Resolução:
As raízes de são encontradas usando a fórmula de Bhaskara:
Portanto, temos uma raiz dupla .
Verificando a relação de Girard:
Soma das raízes: , que é a soma de .
Produto das raízes: , que é o produto de .
Exercícios Propostos
1. Dado o polinômio , determine as raízes e a relação entre elas e os coeficientes.
2. Se é uma raiz do polinômio , encontre o valor de .