Propriedades dos Determinantes

Os determinantes são uma ferramenta fundamental em álgebra linear, com várias propriedades úteis para a simplificação de cálculos e resolução de sistemas lineares. Abaixo estão algumas das propriedades mais importantes dos determinantes de matrizes quadradas.

Principais Propriedades

Aqui estão algumas das propriedades chave dos determinantes:

O determinante de uma matriz triangular (superior ou inferior) é o produto dos elementos da diagonal principal.
Se uma matriz tem duas linhas (ou colunas) iguais, seu determinante é zero.
Se trocarmos duas linhas (ou duas colunas) de lugar, o sinal do determinante é alterado.
Se multiplicarmos uma linha (ou coluna) de uma matriz por um escalar, o determinante da nova matriz será multiplicado por esse escalar.
A adição de um múltiplo de uma linha (ou coluna) a outra não muda o determinante.
O determinante de uma matriz é igual ao determinante de sua transposta.

Exemplo de Aplicação das Propriedades

Vamos aplicar algumas propriedades para calcular o determinante da seguinte matriz:

$A = begin{bmatrix} 1 & 3 & 3 \ 1 & 4 & 3 \ 1 & 3 & 4 end{bmatrix}$

Propriedades aplicadas:

Subtraindo a primeira linha das outras, obtemos uma matriz com duas linhas superiores iguais, facilitando o cálculo.
Como duas linhas são iguais, sabemos que o determinante será zero sem necessidade de mais cálculos.

Portanto, $text{det}(A) = 0$ .

Exercícios Propostos

1. Dada a matriz $B = begin{bmatrix} 2 & 5 & 7 \ 0 & 1 & 4 \ 0 & 0 & 3 end{bmatrix}$ , calcule seu determinante usando a propriedade de matrizes triangulares.

2. Se $C$ é uma matriz 3×3 e $C'</latex] é o resultado da troca de duas linhas de [latex]C[/latex], mostre que [latex]text{det}(C) = -text{det}(C')[/latex]. 3. Verifique se o determinante da matriz [latex]D = begin{bmatrix} a & b \ c & d end{bmatrix}$ muda após adicionar a primeira coluna à segunda.

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