Matrizes e Sistemas Lineares

Matrizes são ferramentas poderosas na resolução de sistemas lineares. Elas permitem organizar os coeficientes das equações de um sistema e aplicar métodos numéricos para encontrar as soluções de forma eficiente.

Representação Matricial de um Sistema

Um sistema de equações lineares pode ser escrito na forma matricial $Ax = b$ , onde:

$A$ é a matriz dos coeficientes do sistema,
$x$ é o vetor coluna das incógnitas,
$b$ é o vetor coluna dos termos constantes.

Por exemplo, o sistema

$begin{cases} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 = b_1 \ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 = b_2 end{cases}$

pode ser representado como:

$begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \ a_{21} & a_{22} end{bmatrix} begin{bmatrix} x_1 \ x_2 end{bmatrix} = begin{bmatrix} b_1 \ b_2 end{bmatrix}$

Resolvendo Sistemas com Matrizes

Para resolver um sistema representado por uma matriz, podemos utilizar métodos como:

Eliminação Gaussiana,
Decomposição LU,
Método de Cramer (se o determinante de $A$ não for zero).

Esses métodos transformam a matriz $A$ em uma forma mais simples, facilitando a obtenção do vetor solução $x$ .

Exemplo

Considere o sistema:

$begin{cases} x + 3y = 5 \ 2x - y = -1 end{cases}$

A matriz associada ao sistema é:

$begin{bmatrix} 1 & 3 \ 2 & -1 end{bmatrix}$

e o vetor dos termos constantes é:

$begin{bmatrix} 5 \ -1 end{bmatrix}$

Através da eliminação de Gauss ou outro método, encontramos a solução do sistema.

Exercícios Propostos

1. Dado o sistema abaixo, monte a matriz correspondente e resolva utilizando a eliminação Gaussiana:

$begin{cases} 3x + 2y - z = 1 \ 2x - 2y + 4z = -2 \ -x + frac{1}{2}y - z = 0 end{cases}$

2. Utilize o Método de Cramer para resolver o sistema:

$begin{cases} x - y + z = 6 \ 2x + y + z = -4 \ -x + 2y + 3z = 2 end{cases}$

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