Matrizes e Determinantes

O que são Matrizes?

Uma matriz é uma disposição retangular de números, símbolos ou expressões, dispostos em linhas e colunas. Por exemplo, a matriz $A$ abaixo é uma matriz de ordem 2×2 (duas linhas e duas colunas):

$A = begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \ a_{21} & a_{22} end{bmatrix}$

O que são Determinantes?

O determinante é um número especial que pode ser calculado a partir de uma matriz quadrada. O determinante de uma matriz 2×2 é calculado por:

$text{det}(A) = a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21}$

Para matrizes de ordem maior que 2, o cálculo do determinante é mais complexo e envolve a expansão por cofatores ou outras técnicas como a Regra de Sarrus para matrizes 3×3.

Importância dos Determinantes

Os determinantes são muito importantes na álgebra linear e têm diversas aplicações, incluindo:

Solução de sistemas lineares (Regra de Cramer),
Verificação da invertibilidade de uma matriz,
Cálculo de áreas e volumes em geometria.

Exemplo de Cálculo de Determinante

Considere a matriz 3×3 $B$ :

$B = begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \ 0 & 4 & 5 \ 1 & 0 & 6 end{bmatrix}$

O determinante de $B$ é calculado como:

$text{det}(B) = 1begin{vmatrix} 4 & 5 \ 0 & 6 end{vmatrix} - 2begin{vmatrix} 0 & 5 \ 1 & 6 end{vmatrix} + 3begin{vmatrix} 0 & 4 \ 1 & 0 end{vmatrix} = 1(24 - 0) - 2(0 - 5) + 3(0 - 4) = 24 + 10 - 12 = 22$