Identidades Trigonométricas

As identidades trigonométricas são igualdades envolvendo funções trigonométricas que são verdadeiras para qualquer valor que as variáveis assumam. Essas são ferramentas essenciais na resolução de diversas questões de matemática, especialmente em trigonometria.

Entre as mais conhecidas estão a identidade pitagórica sin^2(theta) + cos^2(theta) = 1, e as fórmulas para seno e cosseno da soma e diferença de ângulos, como sin(alpha pm beta). Essas identidades permitem simplificar e resolver expressões e equações trigonométricas complexas.

Para o vestibular, é crucial não só memorizar as principais identidades, mas também entender como aplicá-las em diferentes contextos, seja para simplificar uma expressão ou resolver uma equação.

Exercício Resolvido

Prove que tan^2(theta) + 1 = sec^2(theta), sabendo que tan(theta) = frac{sin(theta)}{cos(theta)} e sec(theta) = frac{1}{cos(theta)}.

  1. Verdadeiro, pois é uma identidade básica.
  2. Falso, pois depende do valor de theta.
  3. Falso, pois é uma identidade apenas para ângulos agudos.
  4. Verdadeiro, mas apenas quando theta é obtuso.
  5. Verdadeiro, mas não pode ser provado apenas com as informações dadas.

Resposta: A

Resolução: Partimos da identidade tan(theta) = frac{sin(theta)}{cos(theta)}, elevamos ambos os lados ao quadrado, obtendo tan^2(theta) = frac{sin^2(theta)}{cos^2(theta)}. Usando a identidade pitagórica sin^2(theta) + cos^2(theta) = 1, temos frac{sin^2(theta)}{cos^2(theta)} + 1 = frac{sin^2(theta) + cos^2(theta)}{cos^2(theta)} = frac{1}{cos^2(theta)} = sec^2(theta).

Exercícios Propostos

1. Simplifique a expressão frac{sin(theta)}{cos(theta)} + frac{cos(theta)}{sin(theta)}.

  1. frac{1}{sin(theta) cos(theta)}
  2. frac{sin^2(theta) + cos^2(theta)}{sin(theta)cos(theta)}
  3. sin(theta)cos(theta)
  4. tan(theta) + cot(theta)
  5. 2

Gabarito: B

2. Se cos(x) = frac{1}{2} e x está no primeiro quadrante, encontre o valor de sin(2x).

  1. frac{sqrt{3}}{2}
  2. 1
  3. 0
  4. frac{1}{sqrt{2}}
  5. frac{1}{2}

Gabarito: A

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