Derivadas Parciais

Quando o negócio é função de várias variáveis, as derivadas parciais entram em jogo. Imagina que você tem uma função que depende de x e y. A derivada parcial é o que você obtém quando deriva em relação a uma dessas variáveis, mantendo a outra constante. É tipo perguntar: “E aí, função, o que acontece com você se só x mudar?”

Para calcular a derivada parcial de uma função f(x,y) em relação a x, você simplesmente aplica as regras de derivação como se y fosse uma constante, e vice-versa. Em notação, isso é escrito como $frac{partial f}{partial x}$ ou $frac{partial f}{partial y}$ . É quase como derivar funções de uma variável, mas você tem que se lembrar de tratar todas as outras variáveis como se fossem números fixos.

Para mandar bem no vestibular, tem que ter firmeza na hora de derivar termo a termo, saber quando aplicar a regra do produto ou da cadeia em derivadas parciais e lembrar que, em geometria, as derivadas parciais de primeira ordem dão a inclinação do plano tangente à superfície no ponto.

Exemplo Resolvido

Determine as derivadas parciais de primeira ordem da função $f(x,y) = x^2y + e^{xy} + sin(y)$ .

$frac{partial f}{partial x} = 2xy + ye^{xy}, frac{partial f}{partial y} = x^2 + xe^{xy} + cos(y)$
$frac{partial f}{partial x} = 2xy, frac{partial f}{partial y} = x^2$
$frac{partial f}{partial x} = 2xy, frac{partial f}{partial y} = e^{xy} + cos(y)$
$frac{partial f}{partial x} = 2x + e^{xy}, frac{partial f}{partial y} = x^2y + xe^{xy}$
$frac{partial f}{partial x} = 2xy + e^{xy}, frac{partial f}{partial y} = x^2 + e^{xy} + cos(y)$

Resolução: Derivando em relação a x, mantendo y constante, temos $frac{partial f}{partial x} = 2xy + ye^{xy}$ . Derivando em relação a y, tratando x como constante, obtemos $frac{partial f}{partial y} = x^2 + xe^{xy} + cos(y)$ . Resposta: A.