Convergência de Séries

Quando falamos sobre convergência de séries, estamos na verdade perguntando: “Essa sequência infinita de números tá indo pra algum lugar ou só tá passeando?”. Em matemática, isso significa que queremos saber se a soma dos termos de uma série infinita se aproxima de um valor específico ou se ela dispara pro infinito.

Agora, como é que a gente verifica isso? Bem, existem vários testes: teste da integral, teste da comparação, teste da razão, e outros. Cada teste tem sua manha e serve pra tipos diferentes de série. O teste da razão, por exemplo, é ótimo para séries com fatoriais ou exponenciais.

No vestibular, você precisa ficar esperto(a) com os testes mais comuns e saber aplicá-los rapidinho. Ah, e não se esqueça: séries alternadas têm seu próprio teste, e é importante verificar as condições de convergência absoluta também, viu?

Exemplo Resolvido

Use o teste da razão para determinar se a série sum_{n=1}^{infty} frac{n!}{n^n} converge ou diverge.

  1. Converge
  2. Diverge
  3. Converge absolutamente
  4. Converge condicionalmente
  5. Não é possível determinar

Resolução: Aplicando o teste da razão, temos L = lim_{n to infty} frac{(n+1)!}{(n+1)^{n+1}} cdot frac{n^n}{n!}. Simplificando, encontramos L = lim_{n to infty} frac{n^n}{(n+1)^n}, que resulta em L = frac{1}{e}, menor que 1. Logo, a série converge. Resposta: A.

Exercícios Propostos

1. Determine se a série sum_{n=1}^{infty} frac{1}{n^2 + n} converge ou diverge.

  1. Converge
  2. Diverge
  3. Converge absolutamente
  4. Converge condicionalmente
  5. Não é possível determinar

Gabarito: A

2. Utilize o teste da integral para verificar a convergência da série sum_{n=2}^{infty} frac{1}{n (ln n)^2}.

  1. Converge
  2. Diverge
  3. Converge absolutamente
  4. Converge condicionalmente
  5. Não é possível determinar

Gabarito: A

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